全国2007年7月高等教育自学考试线性代数试题

全国2007年7月高等教育自学考试线性代数试题
课程代码：02198

试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，在A可逆时，A-1表示A的逆矩阵，||α||表示向量α的长度。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设abc≠0，则三阶行列式 的值是（　　　）
A．a B．-b
C．0 D．abc
2．若三阶方阵A等价于矩阵 ，则A的秩是（　　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
3．设A为n阶方阵，且A3=E，则以下结论一定正确的是（　　　）
A．A=E B．A不可逆
C．A可逆，且A-1=A D．A可逆，且A-1=A2
4．设A为3阶矩阵，若|A|=k，则|-kA|是（　　　）
A．-k4 B．-3k
C．-k D．k3
5．设α1，α2，α3线性相关，则以下结论正确的是（　　　）
A．α1，α2一定线性相关 
B．α1，α3一定线性相关
C．α1，α2一定线性无关 
D．存在不全为零的数k1，k2，k3使k1α1+k2α2+k3α3=0
6．设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，则以下结论正确的是（　　　）
A．u 1+ u 2是Ax=b的解 B．u 1- u 2是Ax=b的解
C．k u 1是Ax=b的解（这里k≠1） D．u 1- u 2是Ax=0的解
7．设3阶矩阵A的特征值为1，3，5，则A的行列式|A|等于（　　　） 
A．3 B．4
C．9 D．15
8．设矩阵A= ，则A是（　　　）
A．正交矩阵 B．正定矩阵
C．对称矩阵 D．反对称矩阵
9．二次型f(x1, x2)= 的矩阵是（　　　）
A．  B．
C．  D．
10．设ξ1，ξ2是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（　　　）
A．ξ1+ξ2是λ对应的特征向量 B．2ξ1是λ对应的特征向量
C．ξ1,ξ2一定线性相关 D．ξ1，ξ2一定线性无关
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．矩阵A= 的秩为_____________.
12．排列12453的逆序数为_____________.
13．设A，B为3阶方阵，且|A|=9，|B|=3，则|-2AB-1|=_____________.
14．矩阵A满足A3=0，则（E-A）-1=_____________.
15．已知向量α1=[3，5，8，8]，α2=[-1，5，2，0]，则 _____________.
16．设A为m×n矩阵，且A的n个列向量线性无关，则矩阵AT的秩为_____________.
17．设A是秩为2的4×5矩阵，则齐次线性方程组Ax=0的解集合中线性无关的解向量个数为_____________.
18．设P为n阶正交矩阵，x是一个n维列向量，且||x||=3，则||Px||=_____________.
19．设A为3阶实对称矩阵，α=[1，1，3]T，β=[4,5,a]T分别是属于A的相异特征值λ1与λ2的特征向量,则a=_____________.
20.设二次型f(x1, x2, x3)= 的正惯性指数为p,负惯性指数为q，则p-q=_____________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
21．计算行列式
22．设A= ，B为3阶矩阵，且它们满足A-1B=6E+B，求B.
23．求向量组α1=[2，1，1]，α2=[4，2，1]，α3=[5，2，1]，α4=[1，0，1]的一个最大线性无关组，并将其它向量用此最大线性无关组线性表示.
24．求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并以此写出其结构式通解.
 
25．设3阶矩阵A的特征值为1，2，3，相应的特征向量为 ，求A.
26．已知二次型 的秩是2.
 （1）求参数a.
 （2）将 化为规范形.
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
27．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明2α1+3α2，α2+4α3，5α3+α1线性无关.
28．设A为n阶正定矩阵，B是与A合同的n阶矩阵，证明B也是正定矩阵.